(86) ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ - mathematica.gr

(86) ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ - mathematica.gr:

Re: ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

• 
  

#5

Δημοσίευση

από ΛΕΩΝΙΔΑΣ » 04 Οκτ 2012, 21:43

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
3. Έστω ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε .



Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός , διαιρείται με το .

Αν οι a,b,c αφήνουν διαφορετικό υπόλοιπο στην διαιρεση με το 3 τοτε το 3
διαίρει το δεξί μέλος ενώ το αριστερό όχι. Άρα δυο τουλάχιστον θα ειναι
ισουπόλοιποι modulo 3 και συνεπώς το 3 θα διαιρεί το αριστερό μέλος.
Τότε θα πρεπει να διαιρει και το δεξι. Έστω ότι ισουπόλοιποι ειναι οι
a,b. Τοτε θα πρέπει το 2a+c να ειναι ισότιμο με μηδέν modulo 3. Αυτό
όμως συμβαίνει μόνο στην περίπτωση που και οι 3 αριθμοί ειναι
ισουπόλοιποι. Άρα καθε παρένθεση θα διαιρείται με το 3 και συνεπώς όλες
μαζί με το 27.