Διαγωνισμοί Μαθηματικών: Θεωρία αριθμών

από socrates » 07 Νοέμ 2012, 19:34

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$ . Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί..

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι για τους αριθμούς $\displaystyle{x:=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}}$ και $\displaystyle{y:=\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$

ισχύει $x+y, xy \in \Bbb{Z}....$

Θ1997β1

(86) Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο - Σελίδα 21 - mathematica.gr:

Γράφουμε στη σειρά τους αριθμούς από το 1990 έως και το 1997. Να εξετάσετε αν ο αριθμός που προκύπτει είναι πρώτος.

Ο αριθμός που προκύπτει είναι ο 19901991199219931994199519961997
Αν προσθέσουμε τα ψηφία του βρίσκουμε άθροισμα 180. Και επειδή ο 180 διαιρείται τουλάχιστον με το 3, άρα και ο παραπάνω αριθμός διαιρείται τουλάχιστον με το 3 και άρα δεν μπορεί να είναι πρώτος.

(86) ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ - mathematica.gr

(86) ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ - mathematica.gr:

Re: ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ

από ΛΕΩΝΙΔΑΣ » 04 Οκτ 2012, 21:43

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
3. Έστω $\displaystyle{a , b , c}$ ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε $\displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c}$ .

Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a+b+c}$ , διαιρείται με το .

Αν οι a,b,c αφήνουν διαφορετικό υπόλοιπο στην διαιρεση με το 3 τοτε το 3
διαίρει το δεξί μέλος ενώ το αριστερό όχι. Άρα δυο τουλάχιστον θα ειναι
ισουπόλοιποι modulo 3 και συνεπώς το 3 θα διαιρεί το αριστερό μέλος.
Τότε θα πρεπει να διαιρει και το δεξι. Έστω ότι ισουπόλοιποι ειναι οι
a,b. Τοτε θα πρέπει το 2a+c να ειναι ισότιμο με μηδέν modulo 3. Αυτό
όμως συμβαίνει μόνο στην περίπτωση που και οι 3 αριθμοί ειναι
ισουπόλοιποι. Άρα καθε παρένθεση θα διαιρείται με το 3 και συνεπώς όλες
μαζί με το 27.

Διαγωνισμοί Μαθηματικών

Πέμπτη 8 Νοεμβρίου 2018

Ε1997Β1

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ1997β1

(86) ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ - mathematica.gr

Re: ΘΑΛΗΣ 1997-Β ΛΥΚΕΙΟΥ